Weisser studierte Klassische Archäologie, Alte Geschichte sowie Ur- und Frühgeschichte. 1996 promovierte er zu dem numismatischen Thema "Die kaiserzeitliche Münzprägung von Pergamon". Für diese Arbeit erhielt er das einjährige Reisestipendium des Deutschen Archäologischen Instituts. In der numismatischen Wissenschaftswelt hat er einen exzellenten Ruf und ist hervorragend vernetzt. 2009 wurde er zum Honorarprofessor am Winckelmann-Institut der Humboldt-Universität zu Berlin ernannt. Ebenfalls seit 2009 ist er Sprecher des Landes Berlins in der Numismatischen Kommission der Länder. Daneben ist Weisser numismatischer Sachverständiger bei künstlerischen Wettbewerben für die Gestaltung von Sonderprägungen und Gedenkmünzen und Erster Vorsitzender der Deutschen Gesellschaft für Medaillenkunst. 2013 erhielt er den Ehrenpreis der Gesellschaft für Internationale Geldgeschichte.

Seine berufliche Laufbahn am Münzkabinett begann Bernhard Weisser bereits 1996, zunächst als Museumsassistent in Fortbildung, im Anschluss als wissenschaftlicher Mitarbeiter. 2003 wurde er zum Kustos am Münzkabinett ernannt, 2009 zum Stellvertretenden Direktor. Er betreute in dieser Zeit zahlreiche hochkarätige Ausstellungen und leitete mehrere Forschungsprojekte. Besonders hervorzuheben ist der von ihm entwickelte interaktive Katalog von Beständen des Münzkabinetts, der die umfassendste Onlinepublikation einer Münzsammlung im deutschsprachigen Raum ist ().

Weisser sieht neben der Erarbeitung von Ausstellungen die Digitalisierung aller Bestände des Münzkabinetts und deren Präsentation im Internet als wichtigen Schritt dazu, die führende Rolle des Münzkabinetts in der deutschen Numismatik weiter auszubauen. Gleichzeitig soll die objektbezogene Forschung weiter gestärkt werden. Wenig aufgearbeitet ist bisher etwa der Bereich islamischer Münzen. Als eine weitere wesentliche Aufgabe versteht er die Nachwuchsförderung im Bereich der Numismatik.